Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{3 x} + \sqrt{12} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\sqrt{3}$ .

$(\sqrt{3 x} + \sqrt{12}) \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $(\sqrt{3 x} + \sqrt{12}) \sqrt{3}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.1.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$(\sqrt{3 x} + \sqrt{4 (3)}) \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(\sqrt{3 x} + \sqrt{2^{2} \cdot 3}) \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(\sqrt{3 x} + 2 \sqrt{3}) \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3 x} \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.3

Multipliziere $\sqrt{3 x} \sqrt{3}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{3 x \cdot 3} + 2 \sqrt{3} \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\sqrt{9 x} + 2 \sqrt{3} \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.4

Multipliziere $2 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{9 x} + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{9 x} + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{9 x} + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{9 x} + 2 {\sqrt{3}}^{2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2} x} + 2 {\sqrt{3}}^{2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 \sqrt{x} + 2 {\sqrt{3}}^{2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.5.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.1.5.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \sqrt{x} + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.5.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.5.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3^{1} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.5.3.5

Berechne den Exponenten.

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3 = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.1.1.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 \sqrt{x} + 6 = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \sqrt{x} + 6 = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \sqrt{x} + 6 = x + 7$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $3 \sqrt{x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sqrt{x} = x + 7 - 6$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$3 \sqrt{x} = x + 1$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(3 \sqrt{x})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{1} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4

Vereinfache.

$9 x = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$9 x = (x + 1) (x + 1)$

Schritt 3.3.3.1.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$9 x = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$9 x = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$9 x = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$9 x = x^{2} + x + x + 1$

Schritt 3.3.3.1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$9 x = x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 2 x + 1 = 9 x$

Schritt 3.4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x + 1 - 9 x = 0$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $9 x$ von $2 x$ .

$x^{2} - 7 x + 1 = 0$

Schritt 3.4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 7$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache.

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Schritt 3.4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.5.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 3.4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.5.1.4

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 3.4.5.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.5.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{7 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{7 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Dezimalform:

$x = 6.85410196 \dots, 0.14589803 \dots$