Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) = 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) = 1$ durch $\sqrt{3}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) = 1$ durch $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9})}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9})}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\tan (x - \frac{π}{9})$ durch $1$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x - \frac{π}{9} = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x - \frac{π}{9} = \frac{π}{6}$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Addiere $\frac{π}{9}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π}{9}$

Schritt 5.2

Um $\frac{π}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9}$

Schritt 5.3

Um $\frac{π}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{18} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{9}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{9 \cdot 2}$

Schritt 5.4.4

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{18}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 3 + π \cdot 2}{18}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π \cdot 2}{18}$

Schritt 5.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 π + 2 \cdot π}{18}$

Schritt 5.6.3

Addiere $3 π$ und $2 π$ .

$x = \frac{5 π}{18}$

Schritt 6

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x - \frac{π}{9} = π + \frac{π}{6}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache $π + \frac{π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x - \frac{π}{9} = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x - \frac{π}{9} = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 7.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - \frac{π}{9} = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x - \frac{π}{9} = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Schritt 7.1.3.2

Addiere $6 π$ und $π$ .

$x - \frac{π}{9} = \frac{7 π}{6}$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Addiere $\frac{π}{9}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{7 π}{6} + \frac{π}{9}$

Schritt 7.2.2

Um $\frac{7 π}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9}$

Schritt 7.2.3

Um $\frac{π}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{6}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{7 π \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{7 π \cdot 3}{18} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{9}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{7 π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{9 \cdot 2}$

Schritt 7.2.4.4

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$x = \frac{7 π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{18}$

Schritt 7.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{7 π \cdot 3 + π \cdot 2}{18}$

Schritt 7.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$x = \frac{21 π + π \cdot 2}{18}$

Schritt 7.2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{21 π + 2 \cdot π}{18}$

Schritt 7.2.6.3

Addiere $21 π$ und $2 π$ .

$x = \frac{23 π}{18}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\tan (x - \frac{π}{9})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\tan (x - \frac{π}{9})$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{18} + π n, \frac{23 π}{18} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{5 π}{18} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$