Elementarmathematik Beispiele

$\sec^{2} (x) - 8 \sec (x) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sec (x)$ .

$u^{2} - 8 u = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - 8 u$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - 8 u = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- 8 u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 8 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 8$ heraus.

$u (u - 8) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\sec (x) (\sec (x) - 8) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\sec (x) - 8 = 0$

Schritt 3

Setze $\sec (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $\sec (x)$ gleich $0$ .

$\sec (x) = 0$

Schritt 3.2

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 4

Setze $\sec (x) - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $\sec (x) - 8$ gleich $0$ .

$\sec (x) - 8 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sec (x) - 8 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sec (x) = 8$

Schritt 4.2.2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (8)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Berechne $arcsec (8)$ .

$x = 1.44546849$

Schritt 4.2.4

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

Schritt 4.2.5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

Schritt 4.2.5.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.44546849$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.44546849$

Schritt 4.2.5.2.2

Subtrahiere $1.44546849$ von $6.2831853$ .

$x = 4.83771681$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.7

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.44546849 + 2 π n, 4.83771681 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sec (x) (\sec (x) - 8) = 0$ wahr machen.

$x = 1.44546849 + 2 π n, 4.83771681 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$