Elementarmathematik Beispiele

${Pa}^{x} = Q b^{x}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({Pa}^{x}) = \ln (Q b^{x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({Pa}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (Pa) = \ln (Q b^{x})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (Q b^{x})$ als $\ln (Q) + \ln (b^{x})$ um.

$x \ln (Pa) = \ln (Q) + \ln (b^{x})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (b^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (Pa) = \ln (Q) + x \ln (b)$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (Pa) - \ln (Q) - x \ln (b) = 0$

Schritt 5

Addiere $\ln (Q)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (Pa) - x \ln (b) = \ln (Q)$

Schritt 6

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (Pa) - x \ln (b)$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (b)$ heraus.

$x \ln (Pa) + x (- 1 \ln (b)) = \ln (Q)$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (Pa) + x (- 1 \ln (b))$ heraus.

$x (\ln (Pa) - 1 \ln (b)) = \ln (Q)$

Schritt 7

Schreibe $- 1 \ln (b)$ als $- \ln (b)$ um.

$x (\ln (Pa) - \ln (b)) = \ln (Q)$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (Pa) - \ln (b)) = \ln (Q)$ durch $\ln (Pa) - \ln (b)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (Pa) - \ln (b)) = \ln (Q)$ durch $\ln (Pa) - \ln (b)$ .

$\frac{x (\ln (Pa) - \ln (b))}{\ln (Pa) - \ln (b)} = \frac{\ln (Q)}{\ln (Pa) - \ln (b)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (Pa) - \ln (b)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (Pa) - \ln (b))}{\ln (Pa) - \ln (b)} = \frac{\ln (Q)}{\ln (Pa) - \ln (b)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (Q)}{\ln (Pa) - \ln (b)}$

Schritt 9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \frac{\ln (Q)}{\ln (\frac{Pa}{b})}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\ln (Q)}{\ln (\frac{1}{b} Pa)}$