Elementarmathematik Beispiele

$\log_{x} (8) = - \frac{3}{5}$

Schritt 1

Schreibe $\log_{x} (8) = - \frac{3}{5}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$x^{- \frac{3}{5}} = 8$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $- \frac{5}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{- \frac{3}{5}})}^{- \frac{5}{3}} = 8^{- \frac{5}{3}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache ${(x^{- \frac{3}{5}})}^{- \frac{5}{3}}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{- \frac{3}{5}})}^{- \frac{5}{3}}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{3}{5} (- \frac{5}{3})} = 8^{- \frac{5}{3}}$

Schritt 2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{5}$ in den Zähler.

$x^{\frac{- 3}{5} (- \frac{5}{3})} = 8^{- \frac{5}{3}}$

Schritt 2.2.1.1.1.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{3}$ in den Zähler.

$x^{\frac{- 3}{5} \cdot \frac{- 5}{3}} = 8^{- \frac{5}{3}}$

Schritt 2.2.1.1.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$x^{\frac{3 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5}{3}} = 8^{- \frac{5}{3}}$

Schritt 2.2.1.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5}{3}} = 8^{- \frac{5}{3}}$

Schritt 2.2.1.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot - 5} = 8^{- \frac{5}{3}}$

Schritt 2.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.1.1.1.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 1))} = 8^{- \frac{5}{3}}$

Schritt 2.2.1.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot - 1)} = 8^{- \frac{5}{3}}$

Schritt 2.2.1.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{- - 1} = 8^{- \frac{5}{3}}$

Schritt 2.2.1.1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{1} = 8^{- \frac{5}{3}}$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 8^{- \frac{5}{3}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache $8^{- \frac{5}{3}}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{8^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x = \frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1}{2^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 2.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1}{2^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 2.2.2.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2^{5}}$

Schritt 2.2.2.1.2.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{1}{32}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{32}$

Dezimalform:

$x = 0.03125$