Elementarmathematik Beispiele

$\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$

Schritt 1

Schreibe $\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$x^{- \frac{4}{5}} = 256$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $- \frac{5}{4}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache ${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{4}{5} (- \frac{5}{4})} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Schritt 2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{5}$ in den Zähler.

$x^{\frac{- 4}{5} (- \frac{5}{4})} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Schritt 2.2.1.1.1.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{4}$ in den Zähler.

$x^{\frac{- 4}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Schritt 2.2.1.1.1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$x^{\frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Schritt 2.2.1.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Schritt 2.2.1.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot - 5} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Schritt 2.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.1.1.1.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 1))} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Schritt 2.2.1.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot - 1)} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Schritt 2.2.1.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{- - 1} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Schritt 2.2.1.1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{1} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache $\pm 256^{- \frac{5}{4}}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \frac{1}{256^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Schreibe $256$ als $4^{4}$ um.

$x = \pm \frac{1}{{(4^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{4^{4 (\frac{5}{4})}}$

Schritt 2.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{1}{4^{4 (\frac{5}{4})}}$

Schritt 2.2.2.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{1}{4^{5}}$

Schritt 2.2.2.1.2.4

Potenziere $4$ mit $5$ .

$x = \pm \frac{1}{1024}$

Schritt 2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{1024}$

Schritt 2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{1024}$

Schritt 2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{1024}, - \frac{1}{1024}$

Schritt 3

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$ nicht erfüllen.

$x = \frac{1}{1024}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{1024}$

Dezimalform:

$x = 0.00097656 \dots$