Elementarmathematik Beispiele

$\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$

Schritt 1

Schreibe $\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{4}$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$1 \cdot 4 = x^{\frac{2}{3}} \cdot 1$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 1 \cdot 4$ um.

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 1 \cdot 4$

Schritt 2.3.2

Verschiebe die Begriffe, die $x$ enthalten auf die linke Seite und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 1 \cdot 4$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Schritt 2.3.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.3.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.3.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.3.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.4.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.3.4.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.3.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.4.2.1

Vereinfache $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 2.3.4.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.2.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.3.4.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 2.3.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 2.3.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm 2^{3}$

Schritt 2.3.4.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x = \pm 8$

Schritt 2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8$

Schritt 2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8$

Schritt 2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8, - 8$

Schritt 3

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$ nicht erfüllen.

$x = 8$