Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (x + 9) - \log_{5} (x - 1) = 2$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x + 9}{x - 1}) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log_{5} (\frac{x + 9}{x - 1}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$5^{2} = \frac{x + 9}{x - 1}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 9 = 5^{2} (x - 1)$

Schritt 4

Vereinfache $5^{2} (x - 1)$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x + 9 = 25 (x - 1)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 9 = 25 x + 25 \cdot - 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$x + 9 = 25 x - 25$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $25 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 9 - 25 x = - 25$

Schritt 5.2

Subtrahiere $25 x$ von $x$ .

$- 24 x + 9 = - 25$

Schritt 6

Faktorisiere $3$ aus $- 24 x + 9$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 24 x$ heraus.

$3 (- 8 x) + 9 = - 25$

Schritt 6.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 (- 8 x) + 3 (3) = - 25$

Schritt 6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 8 x) + 3 (3)$ heraus.

$3 (- 8 x + 3) = - 25$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $3 (- 8 x + 3) = - 25$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (- 8 x + 3) = - 25$ durch $3$ .

$\frac{3 (- 8 x + 3)}{3} = \frac{- 25}{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 8 x + 3)}{3} = \frac{- 25}{3}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $- 8 x + 3$ durch $1$ .

$- 8 x + 3 = \frac{- 25}{3}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 8 x + 3 = - \frac{25}{3}$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 x = - \frac{25}{3} - 3$

Schritt 8.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 8 x = - \frac{25}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 8.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 8 x = - \frac{25}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Schritt 8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 8 x = \frac{- 25 - 3 \cdot 3}{3}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- 8 x = \frac{- 25 - 9}{3}$

Schritt 8.5.2

Subtrahiere $9$ von $- 25$ .

$- 8 x = \frac{- 34}{3}$

Schritt 8.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 8 x = - \frac{34}{3}$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = - \frac{34}{3}$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = - \frac{34}{3}$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- \frac{34}{3}}{- 8}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- \frac{34}{3}}{- 8}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{34}{3}}{- 8}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{34}{3} \cdot \frac{1}{- 8}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{34}{3}$ in den Zähler.

$x = \frac{- 34}{3} \cdot \frac{1}{- 8}$

Schritt 9.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 34$ heraus.

$x = \frac{2 (- 17)}{3} \cdot \frac{1}{- 8}$

Schritt 9.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 17}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 4}$

Schritt 9.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 17}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 4}$

Schritt 9.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 17}{3} \cdot \frac{1}{- 4}$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 17}{3}$ mit $\frac{1}{- 4}$ .

$x = \frac{- 17}{3 \cdot - 4}$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- 17}{- 12}$

Schritt 9.3.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{17}{12}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{17}{12}$

Dezimalform:

$x = 1.41\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 1 \frac{5}{12}$