Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (x + 7) + \log_{5} (x - 7) = 3$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x + 7) (x - 7)) = 3$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 7) (x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x (x - 7) + 7 (x - 7)) = 3$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 (x - 7)) = 3$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 x + 7 \cdot - 7) = 3$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 x + 7 \cdot - 7$ .

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Schritt 1.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 7$ und $7 x$ neu an.

$\log_{5} (x \cdot x - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7) = 3$

Schritt 1.3.1.2

Addiere $- 7 x$ und $7 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 + 7 \cdot - 7) = 3$

Schritt 1.3.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 7 \cdot - 7) = 3$

Schritt 1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 7 \cdot - 7) = 3$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 7$ .

$\log_{5} (x^{2} - 49) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log_{5} (x^{2} - 49) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{3} = x^{2} - 49$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 49 = 5^{3}$ um.

$x^{2} - 49 = 5^{3}$

Schritt 3.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$x^{2} - 49 = 125$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Addiere $49$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 125 + 49$

Schritt 3.3.2

Addiere $125$ und $49$ .

$x^{2} = 174$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{174}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{174}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{174}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{174}, - \sqrt{174}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{5} (x + 7) + \log_{5} (x - 7) = 3$ nicht erfüllen.

$x = \sqrt{174}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{174}$

Dezimalform:

$x = 13.19090595 \dots$