Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (x - 2) = 1 - \log_{5} (x + 2)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{5} (x - 2) + \log_{5} (x + 2) = 1$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 2) (x + 2)) = 1$

Schritt 3

Multipliziere $(x - 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 1$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 1$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 1$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot 2$ und $- 2 x$ neu an.

$\log_{5} (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 1$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 1$

Schritt 4.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 1$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{5} (x^{2} - 2 \cdot 2) = 1$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\log_{5} (x^{2} - 4) = 1$

Schritt 5

Schreibe $\log_{5} (x^{2} - 4) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{1} = x^{2} - 4$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 4 = 5^{1}$ um.

$x^{2} - 4 = 5$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 5 + 4$

Schritt 6.2.2

Addiere $5$ und $4$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 6.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 6.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 6.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 6.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{5} (x - 2) = 1 - \log_{5} (x + 2)$ nicht erfüllen.

$x = 3$