Elementarmathematik Beispiele

$\log_{2} (x - 4) + \log_{2} (x - 6) = 3$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x - 4) (x - 6)) = 3$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 4) (x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x (x - 6) - 4 (x - 6)) = 3$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 4 (x - 6)) = 3$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 4 x - 4 \cdot - 6) = 3$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot - 6 - 4 x - 4 \cdot - 6) = 3$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{2} (x^{2} - 6 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 6) = 3$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$\log_{2} (x^{2} - 6 x - 4 x + 24) = 3$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 6 x$ .

$\log_{2} (x^{2} - 10 x + 24) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log_{2} (x^{2} - 10 x + 24) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{3} = x^{2} - 10 x + 24$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 10 x + 24 = 2^{3}$ um.

$x^{2} - 10 x + 24 = 2^{3}$

Schritt 3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x^{2} - 10 x + 24 = 8$

Schritt 3.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 10 x + 24 - 8 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $8$ von $24$ .

$x^{2} - 10 x + 16 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $x^{2} - 10 x + 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $16$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 8, - 2$

Schritt 3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 8) (x - 2) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 3.7

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 3.8

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.8.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 8) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 8, 2$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} (x - 4) + \log_{2} (x - 6) = 3$ nicht erfüllen.

$x = 8$