Elementarmathematik Beispiele

$\log_{2} (x - 6) = 5 - \log_{2} (2 x)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{2} (x - 6) + \log_{2} (2 x) = 5$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x - 6) (2 x)) = 5$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x (2 x) - 6 (2 x)) = 5$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log_{2} (2 x \cdot x - 6 (2 x)) = 5$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$\log_{2} (2 x \cdot x - 12 x) = 5$

Schritt 5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $x$ .

$\log_{2} (2 (x \cdot x) - 12 x) = 5$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{2} (2 x^{2} - 12 x) = 5$

Schritt 6

Schreibe $\log_{2} (2 x^{2} - 12 x) = 5$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{5} = 2 x^{2} - 12 x$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} - 12 x = 2^{5}$ um.

$2 x^{2} - 12 x = 2^{5}$

Schritt 7.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$2 x^{2} - 12 x = 32$

Schritt 7.3

Subtrahiere $32$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 12 x - 32 = 0$

Schritt 7.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 12 x - 32$ heraus.

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Schritt 7.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) - 12 x - 32 = 0$

Schritt 7.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 12 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 32 = 0$

Schritt 7.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 32$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 16 = 0$

Schritt 7.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ heraus.

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 16 = 0$

Schritt 7.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 16$ heraus.

$2 (x^{2} - 6 x - 16) = 0$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.4.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 16$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 8, 2$

Schritt 7.4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((x - 8) (x + 2)) = 0$

Schritt 7.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 8) (x + 2) = 0$

Schritt 7.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 7.6

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.6.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 7.6.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 7.7

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.7.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 7.7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 8) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 8, - 2$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} (x - 6) = 5 - \log_{2} (2 x)$ nicht erfüllen.

$x = 8$