Elementarmathematik Beispiele

$\log_{225} (5 x + 5) - \log_{225} (5 x - 9) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{225} (\frac{5 x + 5}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 x + 5$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\log_{225} (\frac{5 (x) + 5}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\log_{225} (\frac{5 (x) + 5 (1)}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (1)$ heraus.

$\log_{225} (\frac{5 (x + 1)}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Schreibe $\log_{225} (\frac{5 (x + 1)}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$225^{\frac{1}{2}} = \frac{5 (x + 1)}{5 x - 9}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$5 (x + 1) = 225^{\frac{1}{2}} (5 x - 9)$

Schritt 4

Vereinfache $225^{\frac{1}{2}} (5 x - 9)$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$5 (x + 1) = {(15^{2})}^{\frac{1}{2}} (5 x - 9)$

Schritt 4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (x + 1) = 15^{2 (\frac{1}{2})} (5 x - 9)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (x + 1) = 15^{2 (\frac{1}{2})} (5 x - 9)$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (x + 1) = 15^{1} (5 x - 9)$

Schritt 4.3

Berechne den Exponenten.

$5 (x + 1) = 15 (5 x - 9)$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x + 1) = 15 (5 x) + 15 \cdot - 9$

Schritt 4.5

Multipliziere.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $15$ .

$5 (x + 1) = 75 x + 15 \cdot - 9$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $15$ mit $- 9$ .

$5 (x + 1) = 75 x - 135$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $75 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 (x + 1) - 75 x = - 135$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + 5 \cdot 1 - 75 x = - 135$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 x + 5 - 75 x = - 135$

Schritt 5.3

Subtrahiere $75 x$ von $5 x$ .

$- 70 x + 5 = - 135$

Schritt 6

Faktorisiere $5$ aus $- 70 x + 5$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $5$ aus $- 70 x$ heraus.

$5 (- 14 x) + 5 = - 135$

Schritt 6.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$5 (- 14 x) + 5 (1) = - 135$

Schritt 6.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (- 14 x) + 5 (1)$ heraus.

$5 (- 14 x + 1) = - 135$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $5 (- 14 x + 1) = - 135$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (- 14 x + 1) = - 135$ durch $5$ .

$\frac{5 (- 14 x + 1)}{5} = \frac{- 135}{5}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- 14 x + 1)}{5} = \frac{- 135}{5}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $- 14 x + 1$ durch $1$ .

$- 14 x + 1 = \frac{- 135}{5}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 135$ durch $5$ .

$- 14 x + 1 = - 27$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 14 x = - 27 - 1$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von $- 27$ .

$- 14 x = - 28$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- 14 x = - 28$ durch $- 14$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- 14 x = - 28$ durch $- 14$ .

$\frac{- 14 x}{- 14} = \frac{- 28}{- 14}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 14$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 14 x}{- 14} = \frac{- 28}{- 14}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 28}{- 14}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Dividiere $- 28$ durch $- 14$ .

$x = 2$