Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} (x^{2} + 5) = \log_{3} (4 x^{2} - 2 x)$

Schritt 1

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} + 5 = 4 x^{2} - 2 x$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} - 2 x = x^{2} + 5$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 2 x - x^{2} = 5$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 x = 5$

Schritt 2.3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$3 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Schritt 2.4.1.2

Schreibe $- 2$ um als $3$ plus $- 5$

$3 x^{2} + (3 - 5) x - 5 = 0$

Schritt 2.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 3 x - 5 x - 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} + 3 x) - 5 x - 5 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 x (x + 1) - 5 (x + 1) = 0$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$(x + 1) (3 x - 5) = 0$

Schritt 2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$3 x - 5 = 0$

Schritt 2.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.7

Setze $3 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $3 x - 5$ gleich $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Schritt 2.7.2

Löse $3 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 5$

Schritt 2.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (3 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{5}{3}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 1, \frac{5}{3}$

Dezimalform:

$x = - 1, 1.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = - 1, 1 \frac{2}{3}$