Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x (2 x + 1))$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x (2 x) + x \cdot 1)$

Schritt 1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x \cdot x + x \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x \cdot x + x)$

Schritt 1.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.1

Bewege $x$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 (x \cdot x) + x)$

Schritt 1.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x^{2} + x)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$5 x = 2 x^{2} + x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 x^{2} + x = 5 x$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + x - 5 x = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $5 x$ von $x$ .

$2 x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 x (x) - 4 x = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 4 x$ heraus.

$2 x (x) + 2 x (- 2) = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x) + 2 x (- 2)$ heraus.

$2 x (x - 2) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 3.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$ nicht erfüllen.

$x = 2$