Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (x) - \log_{5} (2 x + 3) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x}{2 x + 3}) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x - 3)) = 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{x}{2 x + 3}$ mit $2 x - 3$ .

$\log_{5} (\frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}) = 0$

Schritt 2

Schreibe $\log_{5} (\frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$5^{0} = \frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x (2 x - 3) = 5^{0} (2 x + 3)$

Schritt 4

Vereinfache $5^{0} (2 x + 3)$ .

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Schritt 4.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x (2 x - 3) = 1 (2 x + 3)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2 x + 3$ mit $1$ .

$x (2 x - 3) = 2 x + 3$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x (2 x - 3) - 2 x = 3$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 x = 3$

Schritt 5.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 x = 3$

Schritt 5.2.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x \cdot x - 3 \cdot x - 2 x = 3$

Schritt 5.2.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.4.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) - 3 \cdot x - 2 x = 3$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 x = 3$

$2 x^{2} - 3 x - 2 x = 3$

Schritt 5.3

Subtrahiere $2 x$ von $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 5 x = 3$

Schritt 6

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2} - 5 x$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$x (2 x) - 5 x = 3$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$x (2 x) + x \cdot - 5 = 3$

Schritt 6.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x) + x \cdot - 5$ heraus.

$x (2 x - 5) = 3$

Schritt 7

Vereinfache $x (2 x - 5)$ .

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Schritt 7.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot - 5 = 3$

Schritt 7.1.2

Stelle um.

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Schritt 7.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x \cdot x + x \cdot - 5 = 3$

Schritt 7.1.2.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x \cdot x - 5 \cdot x = 3$

Schritt 7.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) - 5 \cdot x = 3$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 5 \cdot x = 3$

$2 x^{2} - 5 x = 3$

Schritt 8

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Schritt 9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Schritt 9.1.2

Schreibe $- 5$ um als $1$ plus $- 6$

$2 x^{2} + (1 - 6) x - 3 = 0$

Schritt 9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3 = 0$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x - 6 x - 3 = 0$

Schritt 9.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + x) - 6 x - 3 = 0$

Schritt 9.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1) = 0$

Schritt 9.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 3) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 11

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 11.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 11.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 11.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 12

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, 3$

Schritt 14

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{5} (x) - \log_{5} (2 x + 3) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$ nicht erfüllen.

$x = 3$