Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (x^{2} + 3 x + 4) = 2$

Schritt 1

Schreibe $\log_{5} (x^{2} + 3 x + 4) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{2} = x^{2} + 3 x + 4$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 3 x + 4 = 5^{2}$ um.

$x^{2} + 3 x + 4 = 5^{2}$

Schritt 2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} + 3 x + 4 = 25$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 3 x + 4 - 25 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $25$ von $4$ .

$x^{2} + 3 x - 21 = 0$

Schritt 2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = - 21$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 21)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 21$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 21$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 84}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.3

Addiere $9$ und $84$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{93}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{93}}{2}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$

Dezimalform:

$x = 3.32182538 \dots, - 6.32182538 \dots$