Elementarmathematik Beispiele

$\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 1) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (x (x - 1)) = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot - 1) = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + x \cdot - 1) = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 1 \cdot x) = \frac{1}{2}$

Schritt 1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\log_{4} (x^{2} - x) = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Schreibe $\log_{4} (x^{2} - x) = \frac{1}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$4^{\frac{1}{2}} = x^{2} - x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - x = 4^{\frac{1}{2}}$ um.

$x^{2} - x = 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache $4^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x^{2} - x = {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - x = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - x = 2^{1}$

Schritt 3.2.3

Berechne den Exponenten.

$x^{2} - x = 2$

Schritt 3.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.7

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 1) = \frac{1}{2}$ nicht erfüllen.

$x = 2$