Elementarmathematik Beispiele

$\log_{2} (x + 2) = 2 - \log_{2} (x + 5)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{2} (x + 2) + \log_{2} (x + 5) = 2$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 2) (x + 5)) = 2$

Schritt 3

Multipliziere $(x + 2) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x (x + 5) + 2 (x + 5)) = 2$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 2 (x + 5)) = 2$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5) = 2$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5) = 2$

Schritt 4.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 5 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 5) = 2$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\log_{2} (x^{2} + 5 x + 2 x + 10) = 2$

Schritt 4.2

Addiere $5 x$ und $2 x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 7 x + 10) = 2$

Schritt 5

Schreibe $\log_{2} (x^{2} + 7 x + 10) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{2} = x^{2} + 7 x + 10$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 7 x + 10 = 2^{2}$ um.

$x^{2} + 7 x + 10 = 2^{2}$

Schritt 6.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 7 x + 10 = 4$

Schritt 6.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 7 x + 10 - 4 = 0$

Schritt 6.4

Subtrahiere $4$ von $10$ .

$x^{2} + 7 x + 6 = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $x^{2} + 7 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $7$ ist.

$1, 6$

Schritt 6.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) (x + 6) = 0$

Schritt 6.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 6.7

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6.8

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.8.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 6.8.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 6.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 6$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} (x + 2) = 2 - \log_{2} (x + 5)$ nicht erfüllen.

$x = - 1$