Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$\ln (x - 1), 1$

Schritt 1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$\ln (x - 1)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ mit $\ln (x - 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ mit $\ln (x - 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x - 1)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x + 1) = 2 \ln (x - 1)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $2 \ln (x - 1)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x + 1) = \ln ({(x - 1)}^{2})$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x + 1 = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Forme um.

$x + 1 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$x + 1 = (x - 1) (x - 1)$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Schritt 3.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Schritt 3.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.2.1.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.2.1.4.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x + 1 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.2.1.4.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x + 1 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.2.1.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x + 1 = x^{2} - x - x + 1$

Schritt 3.2.1.4.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 3.2.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 2 x + 1 = x + 1$

Schritt 3.2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x + 1 - x = 1$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $x$ von $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 1$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x + 1 - 1 = 0$

Schritt 3.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 3 x + 1 - 1$ .

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Schritt 3.2.5.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$x^{2} - 3 x + 0 = 0$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $x^{2} - 3 x$ und $0$ .

$x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 3.2.6

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 3.2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 3 x = 0$

Schritt 3.2.6.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Schritt 3.2.6.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 3$ heraus.

$x (x - 3) = 0$

Schritt 3.2.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 3.2.8

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.9

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.9.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.2.9.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.2.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ nicht erfüllen.

$x = 3$