Elementarmathematik Beispiele

$\log_{16} (x) - \log_{16} (x - 9) = (\frac{1}{2})$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{16} (\frac{x}{x - 9}) = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Schreibe $\log_{16} (\frac{x}{x - 9}) = \frac{1}{2}$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$16^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{x - 9}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x = 16^{\frac{1}{2}} (x - 9)$

Schritt 4

Vereinfache $16^{\frac{1}{2}} (x - 9)$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} (x - 9)$

Schritt 4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 4^{2 (\frac{1}{2})} (x - 9)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 4^{2 (\frac{1}{2})} (x - 9)$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 4^{1} (x - 9)$

Schritt 4.3

Berechne den Exponenten.

$x = 4 (x - 9)$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 4 x + 4 \cdot - 9$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 9$ .

$x = 4 x - 36$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 4 x = - 36$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4 x$ von $x$ .

$- 3 x = - 36$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 36$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 36$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 36}{- 3}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 36}{- 3}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 36}{- 3}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividiere $- 36$ durch $- 3$ .

$x = 12$