Elementarmathematik Beispiele

$\log ({(x)}^{3}) = 6 \log (x)$

Schritt 1

Vereinfache $6 \log (x)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{3}) = \log (x^{6})$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{3} = x^{6}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x^{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - x^{6} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} - x^{6}$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$x^{3} \cdot 1 - x^{6} = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- x^{6}$ heraus.

$x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x^{3}) = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x^{3})$ heraus.

$x^{3} (1 - x^{3}) = 0$

Schritt 3.2.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{3} (1^{3} - x^{3}) = 0$

Schritt 3.2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$x^{3} ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{3} ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

Schritt 3.2.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

Schritt 3.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0$

Schritt 3.4

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 3.6

Setze $1 + x + x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $1 + x + x^{2}$ gleich $0$ .

$1 + x + x^{2} = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $1 + x + x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 3.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{3} (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$