Elementarmathematik Beispiele

$\ln ({(x)}^{\ln (x)}) = 4$

Schritt 1

Multipliziere $\ln (x^{\ln (x)})$ aus.

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Schritt 1.1

Zerlege $\ln (x^{\ln (x)})$ durch Herausziehen von $\ln (x)$ aus dem Logarithmus.

$\ln (x) \ln (x)$

Schritt 1.2

Potenziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\ln^{1} (x) \ln (x)$

Schritt 1.3

Potenziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Schritt 1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\ln (x)}^{1 + 1}$

Schritt 1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln^{2} (x)$

Schritt 2

Die ausmultiplizierte Gleichung ist $\ln^{2} (x) = 4$ .

$\ln^{2} (x) = 4$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (x) = \pm \sqrt{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\ln (x) = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\ln (x) = \pm 2$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\ln (x) = 2$

Schritt 3.3.2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{2}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\ln (x) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x$

Schritt 3.3.4

Schreibe die Gleichung als $x = e^{2}$ um.

$x = e^{2}$

Schritt 3.3.5

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\ln (x) = - 2$

Schritt 3.3.6

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{- 2}$

Schritt 3.3.7

Schreibe $\ln (x) = - 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x$

Schritt 3.3.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.8.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{- 2}$ um.

$x = e^{- 2}$

Schritt 3.3.8.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 3.3.9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = e^{2}, \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = e^{2}, \frac{1}{e^{2}}$

Dezimalform:

$x = 7.38905609 \dots, 0.13533528 \dots$