Elementarmathematik Beispiele

$\log_{11} (4 x + 1) + \log_{11} (x + 2) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{11} ((4 x + 1) (x + 2)) = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere $(4 x + 1) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{11} (4 x (x + 2) + 1 (x + 2)) = 1$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{11} (4 x \cdot x + 4 x \cdot 2 + 1 (x + 2)) = 1$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{11} (4 x \cdot x + 4 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\log_{11} (4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 4 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 8 x + 1 x + 1 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 8 x + x + 1 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 8 x + x + 2) = 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $8 x$ und $x$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 9 x + 2) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log_{11} (4 x^{2} + 9 x + 2) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$11^{1} = 4 x^{2} + 9 x + 2$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $4 x^{2} + 9 x + 2 = 11^{1}$ um.

$4 x^{2} + 9 x + 2 = 11$

Schritt 3.2

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 9 x + 2 - 11 = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $11$ von $2$ .

$4 x^{2} + 9 x - 9 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ und deren Summe gleich $b = 9$ ist.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$4 x^{2} + 9 (x) - 9 = 0$

Schritt 3.4.1.2

Schreibe $9$ um als $- 3$ plus $12$

$4 x^{2} + (- 3 + 12) x - 9 = 0$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 3 x + 12 x - 9 = 0$

Schritt 3.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x^{2} - 3 x) + 12 x - 9 = 0$

Schritt 3.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (4 x - 3) + 3 (4 x - 3) = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 3$ .

$(4 x - 3) (x + 3) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3.6

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $4 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 3$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 3.7

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x - 3) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{4}, - 3$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{11} (4 x + 1) + \log_{11} (x + 2) = 1$ nicht erfüllen.

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3}{4}$

Dezimalform:

$x = 0.75$