Elementarmathematik Beispiele

$e^{x + 3} = 3^{x}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x + 3}) = \ln (3^{x})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln (e^{x + 3})$ durch Herausziehen von $x + 3$ aus dem Logarithmus.

$(x + 3) \ln (e) = \ln (3^{x})$

Schritt 2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(x + 3) \cdot 1 = \ln (3^{x})$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$x + 3 = \ln (3^{x})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x + 3 = x \ln (3)$

Schritt 4

Subtrahiere $x \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 3 - x \ln (3) = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x \ln (3) = - 3$

Schritt 6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $x - x \ln (3)$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x - x \ln (3) = - 3$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - x \ln (3) = - 3$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (3)$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- 1 \ln (3)) = - 3$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- 1 \ln (3))$ heraus.

$x (1 - 1 \ln (3)) = - 3$

Schritt 6.2

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$x (1 - \ln (3)) = - 3$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x (1 - \ln (3)) = - 3$ durch $1 - \ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x (1 - \ln (3)) = - 3$ durch $1 - \ln (3)$ .

$\frac{x (1 - \ln (3))}{1 - \ln (3)} = \frac{- 3}{1 - \ln (3)}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \ln (3)$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - \ln (3))}{1 - \ln (3)} = \frac{- 3}{1 - \ln (3)}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{1 - \ln (3)}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{1 - \ln (3)}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{3}{1 - \ln (3)}$

Dezimalform:

$x = 30.42217192 \dots$