Elementarmathematik Beispiele

$5 e^{0.5 x - 2} = {1.9}^{x}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5 e^{0.5 x - 2}) = \ln ({1.9}^{x})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (5 e^{0.5 x - 2})$ als $\ln (5) + \ln (e^{0.5 x - 2})$ um.

$\ln (5) + \ln (e^{0.5 x - 2}) = \ln ({1.9}^{x})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (e^{0.5 x - 2})$ durch Herausziehen von $0.5 x - 2$ aus dem Logarithmus.

$\ln (5) + (0.5 x - 2) \ln (e) = \ln ({1.9}^{x})$

Schritt 2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (5) + (0.5 x - 2) \cdot 1 = \ln ({1.9}^{x})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $0.5 x - 2$ mit $1$ .

$\ln (5) + 0.5 x - 2 = \ln ({1.9}^{x})$

Schritt 3

Zerlege $\ln ({1.9}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (5) + 0.5 x - 2 = x \ln (1.9)$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (5) - x \ln (1.9) = - 0.5 x + 2$

Schritt 5

Addiere $0.5 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (5) - x \ln (1.9) + 0.5 x = 2$

Schritt 6

Subtrahiere $\ln (5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x \ln (1.9) + 0.5 x = 2 - \ln (5)$

Schritt 7

Faktorisiere $0.5 x$ aus $- x \ln (1.9) + 0.5 x$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $0.5 x$ aus $- x \ln (1.9)$ heraus.

$0.5 x (- 2 \ln (1.9)) + 0.5 x = 2 - \ln (5)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $0.5 x$ aus $0.5 x$ heraus.

$0.5 x (- 2 \ln (1.9)) + 0.5 x (1) = 2 - \ln (5)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $0.5 x$ aus $0.5 x (- 2 \ln (1.9)) + 0.5 x (1)$ heraus.

$0.5 x (- 2 \ln (1.9) + 1) = 2 - \ln (5)$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $0.5 x (- 2 \ln (1.9) + 1) = 2 - \ln (5)$ durch $0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $0.5 x (- 2 \ln (1.9) + 1) = 2 - \ln (5)$ durch $0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)$ .

$\frac{0.5 x (- 2 \ln (1.9) + 1)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} = \frac{2}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.5$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.5 x (- 2 \ln (1.9) + 1)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} = \frac{2}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Schritt 8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (- 2 \ln (1.9) + 1)}{- 2 \ln (1.9) + 1} = \frac{2}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 \ln (1.9) + 1$ .

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 2 \ln (1.9) + 1)}{- 2 \ln (1.9) + 1} = \frac{2}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Schritt 8.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (1)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Schritt 8.3.1.2

Separiere Brüche.

$x = \frac{2}{0.5} \cdot \frac{1}{- 2 \ln (1.9) + 1} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Schritt 8.3.1.3

Dividiere $2$ durch $0.5$ .

$x = 4 \frac{1}{- 2 \ln (1.9) + 1} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Schritt 8.3.1.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{- 2 \ln (1.9) + 1}$ .

$x = \frac{4}{- 2 \ln (1.9) + 1} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Schritt 8.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{4}{- 2 \ln (1.9) + 1} - \frac{\ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Schritt 8.3.1.6

Multipliziere mit $1$ .

$x = \frac{4}{- 2 \ln (1.9) + 1} - \frac{1 \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Schritt 8.3.1.7

Separiere Brüche.

$x = \frac{4}{- 2 \ln (1.9) + 1} - (\frac{1}{0.5} \cdot \frac{\ln (5)}{- 2 \ln (1.9) + 1})$

Schritt 8.3.1.8

Dividiere $1$ durch $0.5$ .

$x = \frac{4}{- 2 \ln (1.9) + 1} - (2 \frac{\ln (5)}{- 2 \ln (1.9) + 1})$

Schritt 8.3.1.9

Kombiniere $2$ und $\frac{\ln (5)}{- 2 \ln (1.9) + 1}$ .

$x = \frac{4}{- 2 \ln (1.9) + 1} - \frac{2 \ln (5)}{- 2 \ln (1.9) + 1}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{4 - 2 \ln (5)}{- 2 \ln (1.9) + 1}$

Schritt 8.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4 - 2 \ln (5)$ heraus.

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Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2) - 2 \ln (5)}{- 2 \ln (1.9) + 1}$

Schritt 8.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{2 (2) + 2 (- \ln (5))}{- 2 \ln (1.9) + 1}$

Schritt 8.3.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (- \ln (5))$ heraus.

$x = \frac{2 (2 - \ln (5))}{- 2 \ln (1.9) + 1}$

Schritt 8.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \ln (1.9)$ heraus.

$x = \frac{2 (2 - \ln (5))}{- (2 \ln (1.9)) + 1}$

Schritt 8.3.2.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$x = \frac{2 (2 - \ln (5))}{- (2 \ln (1.9)) - 1 (- 1)}$

Schritt 8.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \ln (1.9)) - 1 (- 1)$ heraus.

$x = \frac{2 (2 - \ln (5))}{- (2 \ln (1.9) - 1)}$

Schritt 8.3.2.6

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 8.3.2.6.1

Schreibe $- (2 \ln (1.9) - 1)$ als $- 1 (2 \ln (1.9) - 1)$ um.

$x = \frac{2 (2 - \ln (5))}{- 1 (2 \ln (1.9) - 1)}$

Schritt 8.3.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 (2 - \ln (5))}{2 \ln (1.9) - 1}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{2 (2 - \ln (5))}{2 \ln (1.9) - 1}$

Dezimalform:

$x = - 2.75327027 \dots$