Elementarmathematik Beispiele

$4 x + 2 = \sqrt{32 - 32 x}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{32 - 32 x} = 4 x + 2$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{32 - 32 x}}^{2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{32 - 32 x}$ als ${(32 - 32 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(32 - 32 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(32 - 32 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(32 - 32 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(32 - 32 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(32 - 32 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(32 - 32 x)}^{1} = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$32 - 32 x = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(4 x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(4 x + 2)}^{2}$ als $(4 x + 2) (4 x + 2)$ um.

$32 - 32 x = (4 x + 2) (4 x + 2)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(4 x + 2) (4 x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$32 - 32 x = 4 x (4 x + 2) + 2 (4 x + 2)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$32 - 32 x = 4 x (4 x) + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x + 2)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$32 - 32 x = 4 x (4 x) + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$32 - 32 x = 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$32 - 32 x = 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$32 - 32 x = 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$32 - 32 x = 16 x^{2} + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$32 - 32 x = 16 x^{2} + 8 x + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$32 - 32 x = 16 x^{2} + 8 x + 8 x + 2 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$32 - 32 x = 16 x^{2} + 8 x + 8 x + 4$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $8 x$ und $8 x$ .

$32 - 32 x = 16 x^{2} + 16 x + 4$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$16 x^{2} + 16 x + 4 = 32 - 32 x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere $32 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} + 16 x + 4 + 32 x = 32$

Schritt 4.2.2

Addiere $16 x$ und $32 x$ .

$16 x^{2} + 48 x + 4 = 32$

Schritt 4.3

Subtrahiere $32$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} + 48 x + 4 - 32 = 0$

Schritt 4.4

Subtrahiere $32$ von $4$ .

$16 x^{2} + 48 x - 28 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16 x^{2} + 48 x - 28$ heraus.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$4 (4 x^{2}) + 48 x - 28 = 0$

Schritt 4.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $48 x$ heraus.

$4 (4 x^{2}) + 4 (12 x) - 28 = 0$

Schritt 4.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 28$ heraus.

$4 (4 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 7) = 0$

Schritt 4.5.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2}) + 4 (12 x)$ heraus.

$4 (4 x^{2} + 12 x) + 4 (- 7) = 0$

Schritt 4.5.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2} + 12 x) + 4 (- 7)$ heraus.

$4 (4 x^{2} + 12 x - 7) = 0$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.5.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 7 = - 28$ und deren Summe gleich $b = 12$ ist.

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Schritt 4.5.2.1.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x$ heraus.

$4 (4 x^{2} + 12 (x) - 7) = 0$

Schritt 4.5.2.1.1.2

Schreibe $12$ um als $- 2$ plus $14$

$4 (4 x^{2} + (- 2 + 14) x - 7) = 0$

Schritt 4.5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (4 x^{2} - 2 x + 14 x - 7) = 0$

Schritt 4.5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.5.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$4 ((4 x^{2} - 2 x) + 14 x - 7) = 0$

Schritt 4.5.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 (2 x (2 x - 1) + 7 (2 x - 1)) = 0$

Schritt 4.5.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$4 ((2 x - 1) (2 x + 7)) = 0$

Schritt 4.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (2 x - 1) (2 x + 7) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x + 7 = 0$

Schritt 4.7

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 4.7.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 4.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 4.8

Setze $2 x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $2 x + 7$ gleich $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Schritt 4.8.2

Löse $2 x + 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 7$

Schritt 4.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 7$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 4.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 4.8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Schritt 4.8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.8.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7}{2}$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (2 x - 1) (2 x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{7}{2}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $4 x + 2 = \sqrt{32 - 32 x}$ nicht erfüllen.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$x = 0.5$