Elementarmathematik Beispiele

$31 x^{2} + 10 \sqrt{3} x y + 21 y^{2} - 144 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 31$ , $b = 10 \sqrt{3} y$ und $c = 21 y^{2} - 144$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3} y)}^{2} - 4 \cdot (31 \cdot (21 y^{2} - 144))}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 (\sqrt{3} y))}^{2} - 4 \cdot (31 \cdot (21 y^{2} - 144))}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.2

Es sei $u = 31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ . Ersetze $u$ für alle $31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ .

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt{3} y$ an.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt{3}$ an.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.2.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.2.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.2.3.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.2.4

Mutltipliziere $100$ mit $3$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{300 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $300 y^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $300 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (75 y^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - u)}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.4

Ersetze alle $u$ durch $31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (31 \cdot (21 y^{2} - 144)))}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (31 (21 y^{2}) + 31 \cdot - 144))}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.5.1.2

Mutltipliziere $21$ mit $31$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2} + 31 \cdot - 144))}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.5.1.3

Mutltipliziere $31$ mit $- 144$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2} - 4464))}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2}) + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.5.1.5

Mutltipliziere $651$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - 651 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4464$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - 651 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.5.2

Subtrahiere $651 y^{2}$ von $75 y^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (- 576 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $144$ aus $- 576 y^{2} + 4464$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $144$ aus $- 576 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2}) + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere $144$ aus $4464$ heraus.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2}) + 144 (31))}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.6.3

Faktorisiere $144$ aus $144 (- 4 y^{2}) + 144 (31)$ heraus.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2} + 31))}}{2 \cdot 31}$

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 \cdot (144 (- 4 y^{2} + 31))}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $144$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{576 (- 4 y^{2} + 31)}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.8

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{24^{2} (- 4 y^{2} + 31)}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{2 \cdot 31}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $31$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{62}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{62}$ .

$x = \frac{- 5 \sqrt{3} y \pm 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

Schritt 4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 \sqrt{3} y - 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

$x = - \frac{5 \sqrt{3} y + 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$