Elementarmathematik Beispiele

$45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$ durch $45$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$ durch $45$ .

$\frac{45 {(\frac{2}{5})}^{x}}{45} = \frac{10}{45}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $45$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{45 {(\frac{2}{5})}^{x}}{45} = \frac{10}{45}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere ${(\frac{2}{5})}^{x}$ durch $1$ .

${(\frac{2}{5})}^{x} = \frac{10}{45}$

Schritt 1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{10}{45}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $45$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 (2)}{45}$

Schritt 1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $45$ heraus.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 9}$

Schritt 1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 9}$

Schritt 1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{2}{9}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $5^{x}$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} \cdot 5^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5^{x}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} \cdot 5^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{9}$ und $5^{x}$ .

$2^{x} = \frac{2 \cdot 5^{x}}{9}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$

Schritt 4.2

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) = \ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$

Schritt 4.3

Schreibe $\ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$ als $\ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (9)$ um.

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (9)$

Schritt 4.4

Schreibe $\ln (9)$ als $\ln (3^{2})$ um.

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (3^{2})$

Schritt 4.5

Zerlege $\ln (3^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - (2 \ln (3))$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - 2 \ln (3)$

Schritt 4.7

Schreibe $\ln (2 \cdot 5^{x})$ als $\ln (2) + \ln (5^{x})$ um.

$x \ln (2) = \ln (2) + \ln (5^{x}) - 2 \ln (3)$

Schritt 4.8

Zerlege $\ln (5^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - 2 \ln (3)$

Schritt 4.9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.9.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.9.1.1

Vereinfache $\ln (2) + x \ln (5) - 2 \ln (3)$ .

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Schritt 4.9.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.9.1.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - \ln (3^{2})$

Schritt 4.9.1.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - \ln (9)$

Schritt 4.9.1.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) = x \ln (5) + \ln (\frac{2}{9})$

Schritt 4.9.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (2) - x \ln (5) - \ln (\frac{2}{9}) = 0$

Schritt 4.9.3

Addiere $\ln (\frac{2}{9})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) - x \ln (5) = \ln (\frac{2}{9})$

Schritt 4.9.4

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2) - x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 4.9.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2)$ heraus.

$x (\ln (2)) - x \ln (5) = \ln (\frac{2}{9})$

Schritt 4.9.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Schritt 4.9.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (5))$ heraus.

$x (\ln (2) - 1 \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Schritt 4.9.5

Schreibe $- 1 \ln (5)$ als $- \ln (5)$ um.

$x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Schritt 4.9.6

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$ durch $\ln (2) - \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 4.9.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$ durch $\ln (2) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (2) - \ln (5))}{\ln (2) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Schritt 4.9.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.9.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2) - \ln (5)$ .

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Schritt 4.9.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (2) - \ln (5))}{\ln (2) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Schritt 4.9.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 1.64148489 \dots$