Elementarmathematik Beispiele

$2 \cos (2 x) = 1 - \cos (x)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (2 x) - 1 = - \cos (x)$

Schritt 1.2

Addiere $\cos (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (2 x) - 1 + \cos (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 + \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 - 1 + \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 1 + \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 1 + \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 3 + \cos (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

$4 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 3 = 0$

Schritt 3.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 3 = 0$

Schritt 3.2.2

Schreibe $1$ um als $- 3$ plus $4$

$4 \cos^{2} (x) + (- 3 + 4) \cos (x) - 3 = 0$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) + 4 \cos (x) - 3 = 0$

Schritt 3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$4 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) + 4 \cos (x) - 3 = 0$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\cos (x) (4 \cos (x) - 3) + 1 (4 \cos (x) - 3) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 \cos (x) - 3$ .

$(4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 \cos (x) - 3 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

Schritt 5

Setze $4 \cos (x) - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $4 \cos (x) - 3$ gleich $0$ .

$4 \cos (x) - 3 = 0$

Schritt 5.2

Löse $4 \cos (x) - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \cos (x) = 3$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos (x) = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos (x) = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{3}{4})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Berechne $\arccos (\frac{3}{4})$ .

$x = 0.72273424$

Schritt 5.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 0.72273424$

Schritt 5.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.6.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 0.72273424$

Schritt 5.2.6.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 0.72273424$ .

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Schritt 5.2.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.72273424$

Schritt 5.2.6.2.2

Subtrahiere $0.72273424$ von $6.2831853$ .

$x = 5.56045105$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.72273424 + 2 π n, 5.56045105 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $\cos (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\cos (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = - 1$

Schritt 6.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 6.2.4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 6.2.5

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 6.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0.72273424 + 2 π n, 5.56045105 + 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$