Elementarmathematik Beispiele

$2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \sqrt{2}$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \sqrt{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \sqrt{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)$ durch $1$ .

$\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$5 x - \frac{1}{12} \cdot π = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{12}$ .

$5 x - \frac{π}{12} = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$5 x - \frac{π}{12} = - \frac{π}{4}$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $\frac{π}{12}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - \frac{π}{4} + \frac{π}{12}$

Schritt 5.2

Um $- \frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$5 x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{12}$

Schritt 5.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{12}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{12}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 x = \frac{- π \cdot 3 + π}{12}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5 x = \frac{- 3 π + π}{12}$

Schritt 5.5.2

Addiere $- 3 π$ und $π$ .

$5 x = \frac{- 2 π}{12}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $12$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 π$ heraus.

$5 x = \frac{2 (- π)}{12}$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$5 x = \frac{2 (- π)}{2 (6)}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x = \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x = \frac{- π}{6}$

Schritt 5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 x = - \frac{π}{6}$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - \frac{π}{6}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - \frac{π}{6}$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{6}}{5}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{6}}{5}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{5}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 6.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{5 \cdot 6}$

Schritt 6.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$x = - \frac{π}{30}$

Schritt 7

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$5 x - \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$5 x - \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 8.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$5 x - \frac{π}{12} = \frac{5 π}{4}$

Schritt 8.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.3.1.1

Addiere $\frac{π}{12}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{12}$

Schritt 8.3.1.2

Um $\frac{5 π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{12}$

Schritt 8.3.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{12}$

Schritt 8.3.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$5 x = \frac{5 π \cdot 3}{12} + \frac{π}{12}$

Schritt 8.3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 x = \frac{5 π \cdot 3 + π}{12}$

Schritt 8.3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$5 x = \frac{15 π + π}{12}$

Schritt 8.3.1.5.2

Addiere $15 π$ und $π$ .

$5 x = \frac{16 π}{12}$

Schritt 8.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $12$ .

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Schritt 8.3.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $16 π$ heraus.

$5 x = \frac{4 (4 π)}{12}$

Schritt 8.3.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$5 x = \frac{4 (4 π)}{4 (3)}$

Schritt 8.3.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x = \frac{4 (4 π)}{4 \cdot 3}$

Schritt 8.3.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 8.3.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{4 π}{3}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{4 π}{3}$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Schritt 8.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Schritt 8.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Schritt 8.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 8.3.2.3.2

Multipliziere $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 8.3.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 5}$

Schritt 8.3.2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$x = \frac{4 π}{15}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $5$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Schritt 10

Addiere $\frac{2 π}{5}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 10.1

Addiere $\frac{2 π}{5}$ zu $- \frac{π}{30}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{30} + \frac{2 π}{5}$

Schritt 10.2

Um $\frac{2 π}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{5} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{30}$

Schritt 10.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $30$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{5}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{5 \cdot 6} - \frac{π}{30}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{30} - \frac{π}{30}$

Schritt 10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{30}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 π - π}{30}$

Schritt 10.5.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{30}$

Schritt 10.6

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{30}$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)$ ist $\frac{2 π}{5}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{5}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{4 π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{11 π}{30} + \frac{2 π n}{5}$ , für jede ganze Zahl $n$