Elementarmathematik Beispiele

$2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{4} x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (\frac{π}{4} x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{π}{4} x)$ durch $1$ .

$\sin (\frac{π}{4} x) = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{π}{4} x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{π}{4}$ und $x$ .

$\frac{π x}{4} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{6}$

Schritt 5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Schritt 6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Schritt 6.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Schritt 6.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Schritt 6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Schritt 6.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (\frac{1}{3})$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 7

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{π x}{4} = π - \frac{π}{6}$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Schritt 8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Schritt 8.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Schritt 8.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 8.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Schritt 8.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Schritt 8.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Schritt 8.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{4}{π} (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Schritt 8.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 8.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 8.2.2.1.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.2.2.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.2.2.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Schritt 8.2.2.1.2.4

Mutltipliziere $\frac{2}{π}$ mit $\frac{π \cdot 6 - π}{3}$ .

$x = \frac{2 (π \cdot 6 - π)}{π \cdot 3}$

Schritt 8.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.1.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 (6 \cdot π - π)}{π \cdot 3}$

Schritt 8.2.2.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{2 \cdot 5 π}{π \cdot 3}$

Schritt 8.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{10 π}{π \cdot 3}$

Schritt 8.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 8.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{10 π}{π \cdot 3}$

Schritt 8.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{10}{3}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{π}{4} x)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

Schritt 9.3

$\frac{π}{4}$ ist ungefähr $0.78539816$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{4}{π}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Schritt 9.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Schritt 9.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 4$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{π}{4} x)$ ist $8$ , d. h., Werte werden sich alle $8$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2}{3} + 8 n, \frac{10}{3} + 8 n$ , für jede ganze Zahl $n$