Elementarmathematik Beispiele

$2 \sin (x) - 1 = \frac{3}{\sin (x)}$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, \sin (x), 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$\sin (x)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$ mit $\sin (x)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$ mit $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.1

Bewege $\sin (x)$ .

$2 (\sin (x) \sin (x)) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sin^{2} (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \sin^{2} (x) = 3 + 1 \sin (x)$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 \sin^{2} (x) = 3 + \sin (x)$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $\sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 3$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 3 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 3 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe $- 1$ um als $2$ plus $- 3$

$2 \sin^{2} (x) + (2 - 3) \sin (x) - 3 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 3 \sin (x) - 3 = 0$

Schritt 4.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 3 \sin (x) - 3 = 0$

Schritt 4.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 \sin (x) (\sin (x) + 1) - 3 (\sin (x) + 1) = 0$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $\sin (x) + 1$ .

$(\sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 3) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

$2 \sin (x) - 3 = 0$

Schritt 4.5

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $\sin (x)$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 4.6

Setze $2 \sin (x) - 3$ gleich $0$ und löse nach $\sin (x)$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $2 \sin (x) - 3$ gleich $0$ .

$2 \sin (x) - 3 = 0$

Schritt 4.6.2

Löse $2 \sin (x) - 3 = 0$ nach $\sin (x)$ auf.

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Schritt 4.6.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) = 3$

Schritt 4.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 4.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 4.6.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{3}{2}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 3) = 0$ wahr machen.

$\sin (x) = - 1, \frac{3}{2}$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = \frac{3}{2}$

Schritt 6

Löse in $\sin (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 6.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 6.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 6.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 6.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 6.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 6.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Löse in $\sin (x) = \frac{3}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\frac{3}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$