Elementarmathematik Beispiele

$2 \log (x) - \log (5) = \log (x + 10)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \log (x) - \log (5) - \log (x + 10) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \log (x) - \log (5) - \log (x + 10)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $2 \log (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{2}) - \log (5) - \log (x + 10) = 0$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2}}{5}) - \log (x + 10) = 0$

Schritt 2.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2}}{5}}{x + 10}) = 0$

Schritt 2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log (\frac{x^{2}}{5} \cdot \frac{1}{x + 10}) = 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{5}$ mit $\frac{1}{x + 10}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{5 (x + 10)}) = 0$

Schritt 3

Schreibe $\log (\frac{x^{2}}{5 (x + 10)}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{x^{2}}{5 (x + 10)}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x^{2} = 10^{0} (5 (x + 10))$

Schritt 5

Vereinfache $10^{0} (5 (x + 10))$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} = 1 (5 (x + 10))$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $5 (x + 10)$ mit $1$ .

$x^{2} = 5 (x + 10)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} = 5 x + 5 \cdot 10$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$x^{2} = 5 x + 50$

Schritt 6

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 5 x = 50$

Schritt 7

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 5 x$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 5 x = 50$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 50$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 5$ heraus.

$x (x - 5) = 50$

Schritt 8

Vereinfache $x (x - 5)$ .

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 50$

Schritt 8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 5 = 50$

Schritt 8.2.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 5 x = 50$

Schritt 9

Subtrahiere $50$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 5 x - 50 = 0$

Schritt 10

Faktorisiere $x^{2} - 5 x - 50$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 10.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 50$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 10, 5$

Schritt 10.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 10) (x + 5) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 12

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 13

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 10) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 10, - 5$

Schritt 15

Schließe die Lösungen aus, die $2 \log (x) - \log (5) = \log (x + 10)$ nicht erfüllen.

$x = 10$