Elementarmathematik Beispiele

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) = 3 \ln (2)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (x + 3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache $- 3 \ln (2)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (2^{3}) = 0$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (8) = 0$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}) - \ln (8) = 0$

Schritt 2.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}}{8}) = 0$

Schritt 2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1} \cdot \frac{1}{8}) = 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 1) \cdot 8}) = 0$

Schritt 2.1.6

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

${(x + 3)}^{2} = e^{0} (8 (x + 1))$

Schritt 5

Vereinfache $e^{0} (8 (x + 1))$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 1 (8 (x + 1))$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $8 (x + 1)$ mit $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 8 (x + 1)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8 \cdot 1$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 3)}^{2} - 8 x = 8$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$(x + 3) (x + 3) - 8 x = 8$

Schritt 6.2.2

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 3) + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

Schritt 6.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

Schritt 6.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Schritt 6.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Schritt 6.2.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Schritt 6.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 8 x = 8$

Schritt 6.2.3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 - 8 x = 8$

Schritt 6.3

Subtrahiere $8 x$ von $6 x$ .

$x^{2} - 2 x + 9 = 8$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x = 8 - 9$

Schritt 7.2

Subtrahiere $9$ von $8$ .

$x^{2} - 2 x = - 1$

Schritt 8

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Schritt 9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Schritt 9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 9.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 10

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 11

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$