Elementarmathematik Beispiele

$2 \ln (x) = \ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2}) = \ln ((2 x - 3) (x - 2))$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(2 x - 3) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x (x - 2) - 3 (x - 2))$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 3 (x - 2))$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Schritt 2.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Schritt 2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} - 4 x - 3 x + 6)$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 4 x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} - 7 x + 6)$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} = 2 x^{2} - 7 x + 6$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 x^{2} - 7 x + 6 = x^{2}$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 7 x + 6 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 6, - 1$

Schritt 4.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x - 1) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4.5

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 6, 1$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $2 \ln (x) = \ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$ nicht erfüllen.

$x = 6$