Elementarmathematik Beispiele

$2 \ln (x + 2) = \ln (10 x)$

Schritt 1

Vereinfache $2 \ln (x + 2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(x + 2)}^{2}) = \ln (10 x)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

${(x + 2)}^{2} = 10 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 2)}^{2} - 10 x = 0$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$(x + 2) (x + 2) - 10 x = 0$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 2) + 2 (x + 2) - 10 x = 0$

Schritt 3.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) - 10 x = 0$

Schritt 3.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - 10 x = 0$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - 10 x = 0$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 - 10 x = 0$

Schritt 3.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - 10 x = 0$

Schritt 3.1.2.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$x^{2} + 4 x + 4 - 10 x = 0$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $10 x$ von $4 x$ .

$x^{2} - 6 x + 4 = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 3.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{5}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 3 + \sqrt{5}, 3 - \sqrt{5}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 3 + \sqrt{5}, 3 - \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 5.23606797 \dots, 0.76393202 \dots$