Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{5} - 15 x^{3} - 27 x = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{5} - 15 x^{3} - 27 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$x (2 x^{4}) - 15 x^{3} - 27 x = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 15 x^{3}$ heraus.

$x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2}) - 27 x = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 27 x$ heraus.

$x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2}) + x \cdot - 27 = 0$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2})$ heraus.

$x (2 x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 27 = 0$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 27$ heraus.

$x (2 x^{4} - 15 x^{2} - 27) = 0$

Schritt 1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (2 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} - 27) = 0$

Schritt 1.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (2 u^{2} - 15 u - 27) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 27 = - 54$ und deren Summe gleich $b = - 15$ ist.

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $- 15$ aus $- 15 u$ heraus.

$x (2 u^{2} - 15 u - 27) = 0$

Schritt 1.4.1.2

Schreibe $- 15$ um als $3$ plus $- 18$

$x (2 u^{2} + (3 - 18) u - 27) = 0$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 u^{2} + 3 u - 18 u - 27) = 0$

Schritt 1.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((2 u^{2} + 3 u) - 18 u - 27) = 0$

Schritt 1.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (u (2 u + 3) - 9 (2 u + 3)) = 0$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 3$ .

$x ((2 u + 3) (u - 9)) = 0$

Schritt 1.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((2 x^{2} + 3) (x^{2} - 9)) = 0$

Schritt 1.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x ((2 x^{2} + 3) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.7.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$x ((2 x^{2} + 3) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Schritt 1.7.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} + 3 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $2 x^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 x^{2} + 3$ gleich $0$ .

$2 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 x^{2} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = - 3$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.2.4.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{2}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2.4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 4.2.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.2.4.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 4.2.4.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 4.2.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.2.4.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 4.2.4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Schritt 4.2.4.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 4.2.4.7

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Schritt 4.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Schritt 4.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Schritt 4.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{2}, - \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Schritt 5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{i \sqrt{6}}{2}, - \frac{i \sqrt{6}}{2}, - 3, 3$