Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{4} + 3 x^{3} - 17 x^{2} + x - 6 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$3 x^{3} + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3} + x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$x (3 x^{2}) + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x (3 x^{2}) + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x (3 x^{2}) + x \cdot 1 + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x^{2}) + x \cdot 1$ heraus.

$x (3 x^{2} + 1) + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (3 x^{2} + 1) + 3 {(x^{2})}^{2} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} - 17 u - 6 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ und deren Summe gleich $b = - 17$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $- 17$ aus $- 17 u$ heraus.

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} - 17 u - 6 = 0$

Schritt 1.5.1.2

Schreibe $- 17$ um als $1$ plus $- 18$

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + (1 - 18) u - 6 = 0$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + 1 u - 18 u - 6 = 0$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + u - 18 u - 6 = 0$

Schritt 1.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + u - 18 u - 6 = 0$

Schritt 1.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x^{2} + 1) + u (3 u + 1) - 6 (3 u + 1) = 0$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u + 1$ .

$x (3 x^{2} + 1) + (3 u + 1) (u - 6) = 0$

Schritt 1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (3 x^{2} + 1) + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere $3 x^{2} + 1$ aus $x (3 x^{2} + 1) + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Faktorisiere $3 x^{2} + 1$ aus $x (3 x^{2} + 1)$ heraus.

$(3 x^{2} + 1) x + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 1.7.2

Faktorisiere $3 x^{2} + 1$ aus $(3 x^{2} + 1) x + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ heraus.

$(3 x^{2} + 1) (x + x^{2} - 6) = 0$

Schritt 1.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(3 x^{2} + 1) (u + u^{2} - 6) = 0$

Schritt 1.9

Faktorisiere $u + u^{2} - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 1.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(3 x^{2} + 1) ((u - 2) (u + 3)) = 0$

Schritt 1.10

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(3 x^{2} + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Schritt 1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3

Setze $3 x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $3 x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3 x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Schreibe $- \frac{1}{3}$ als $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Schritt 3.2.4.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Schritt 3.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Schritt 3.2.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.2.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 3.2.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.4.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.4.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.2.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.2.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.2.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.2.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.4.8

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, 2, - 3$