Elementarmathematik Beispiele

3 = {log}_{x} (512)

$3 = \log_{x} (512)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als

{log}_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$ um.

{log}_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$

Schritt 2

Schreibe

{log}_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn

x

$x$ und

b

$b$ positive reelle Zahlen sind und

b \neq 1

$b \neq 1$ ist, dann ist

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ gleich

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

x^{3} = 512

$x^{3} = 512$

Schritt 3

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere

512

$512$ von beiden Seiten der Gleichung.

x^{3} - 512 = 0

$x^{3} - 512 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Schreibe

512

$512$ als

8^{3}

$8^{3}$ um.

x^{3} - 8^{3} = 0

$x^{3} - 8^{3} = 0$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

a = x

$a = x$ und

b = 8

$b = 8$ .

(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0

$(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Bringe

8

$8$ auf die linke Seite von

x

$x$ .

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere

8

$8$ mit

2

$2$ .

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x - 8 = 0

$x - 8 = 0$

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Schritt 3.4

Setze

x - 8

$x - 8$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze

x - 8

$x - 8$ gleich

0

$0$ .

x - 8 = 0

$x - 8 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere

8

$8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 8

$x = 8$

x = 8

$x = 8$

Schritt 3.5

Setze

x^{2} + 8 x + 64

$x^{2} + 8 x + 64$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze

x^{2} + 8 x + 64

$x^{2} + 8 x + 64$ gleich

0

$0$ .

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5.2.2

Setze die Werte

$a = 1$ ,

$b = 8$ und

$c = 64$ in die Quadratformel ein und löse nach

$x$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Potenziere

$8$ mit

$2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.3

Subtrahiere

$256$ von

$64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.4

Schreibe

$- 192$ als

$- 1 (192)$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.5

Schreibe

$\sqrt{- 1 (192)}$ als

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.6

Schreibe

$\sqrt{- 1}$ als

$i$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.7

Schreibe

$192$ als

$8^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere

$64$ aus

$192$ heraus.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.7.2

Schreibe

$64$ als

$8^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.9

Bringe

$8$ auf die linke Seite von

$i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.5.2.3.3

Vereinfache

$\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Schritt 3.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$ wahr machen.

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$