Elementarmathematik Beispiele

$3 \log_{5} (x) = - \log_{5} (125)$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache $3 \log_{5} (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{5} (x^{3}) = - \log_{5} (125)$

Schritt 1.2

Vereinfache $- \log_{5} (125)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{5} (x^{3}) = \log_{5} (125^{- 1})$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{3} = 125^{- 1}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $125^{- 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 125^{- 1} = 0$

Schritt 3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} - \frac{1}{125} = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $\frac{1}{125}$ als ${(\frac{1}{5})}^{3}$ um.

$x^{3} - {(\frac{1}{5})}^{3} = 0$

Schritt 3.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = \frac{1}{5}$ .

$(x - \frac{1}{5}) (x^{2} + x (\frac{1}{5}) + {(\frac{1}{5})}^{2}) = 0$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{5}$ .

$(x - \frac{1}{5}) (x^{2} + \frac{x}{5} + {(\frac{1}{5})}^{2}) = 0$

Schritt 3.3.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$(x - \frac{1}{5}) (x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1^{2}}{5^{2}}) = 0$

Schritt 3.3.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x - \frac{1}{5}) (x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{5^{2}}) = 0$

Schritt 3.3.3.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(x - \frac{1}{5}) (x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{25}) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - \frac{1}{5} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{25} = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - \frac{1}{5}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - \frac{1}{5}$ gleich $0$ .

$x - \frac{1}{5} = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $\frac{1}{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{1}{5}$

Schritt 3.6

Setze $x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{25}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{25}$ gleich $0$ .

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{25} = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{25} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Multipliziere mit dem Hauptnenner $25$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 x^{2} + 25 (\frac{x}{5}) + 25 (\frac{1}{25}) = 0$

Schritt 3.6.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.6.2.1.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$25 x^{2} + 5 (5) (\frac{x}{5}) + 25 (\frac{1}{25}) = 0$

Schritt 3.6.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 x^{2} + 5 \cdot (5 (\frac{x}{5})) + 25 (\frac{1}{25}) = 0$

Schritt 3.6.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$25 x^{2} + 5 x + 25 (\frac{1}{25}) = 0$

Schritt 3.6.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 3.6.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 x^{2} + 5 x + 25 (\frac{1}{25}) = 0$

Schritt 3.6.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Schritt 3.6.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6.2.3

Setze die Werte $a = 25$ , $b = 5$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 1)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.6.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.4.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 25 \cdot 1$ .

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Schritt 3.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 100$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.6.2.4.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.6.2.4.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.6.2.4.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.6.2.4.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.6.2.4.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$

Schritt 3.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{10}$

Schritt 3.6.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - \frac{1}{5}) (x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{25}) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$