Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{4}} = 2$

Schritt 1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{1}{4}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + 5 x^{\frac{1}{4}} - 2$

Schritt 2

Ersetze $x^{\frac{1}{4}}$ durch $u$ .

$3 {(u)}^{2} + 5 (u) - 2 = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere $5$ mit $u$ .

$3 u^{2} + 5 u - 2 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 u$ heraus.

$3 u^{2} + 5 (u) - 2 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$3 u^{2} + (- 1 + 6) u - 2 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} - 1 u + 6 u - 2 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 u^{2} - 1 u) + 6 u - 2 = 0$

Schritt 3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u + 2) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Schritt 3.4

Setze $3 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Setze $3 u - 1$ gleich $0$ .

$3 u - 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $3 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 u = 1$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 u = 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 u = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{3}$

Schritt 3.5

Setze $u + 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Setze $u + 2$ gleich $0$ .

$u + 2 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 2$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 u - 1) (u + 2) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{3}, - 2$

Schritt 4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3}, - 2$

Schritt 5

Löse nach $x^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3}$ auf für $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Vereinfache ${(\frac{1}{3})}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$x = \frac{1^{4}}{3^{4}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{1}{3^{4}}$

Schritt 5.2.2.1.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$x = \frac{1}{81}$

Schritt 6

Löse nach $x^{\frac{1}{4}} = - 2$ auf für $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 2)}^{4}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

Schritt 6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 2)}^{4}$

Schritt 6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 2)}^{4}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$x = 16$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{1}{81}, 16$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $3 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{4}} = 2$ nicht erfüllen.

$x = \frac{1}{81}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{81}$

Dezimalform:

$x = 0.01234567 \dots$