Elementarmathematik Beispiele

$2 \sin (x - \frac{π}{4}) + \sqrt{3} = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x - \frac{π}{4}) = - \sqrt{3}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x - \frac{π}{4}) = - \sqrt{3}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x - \frac{π}{4}) = - \sqrt{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x - \frac{π}{4})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x - \frac{π}{4})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (x - \frac{π}{4})$ durch $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x - \frac{π}{4} = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{3}$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{π}{3} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.2

Um $- \frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.3

Um $\frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4 π + π \cdot 3}{12}$

Schritt 5.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{- 4 π + 3 \cdot π}{12}$

Schritt 5.6.3

Addiere $- 4 π$ und $3 π$ .

$x = \frac{- π}{12}$

Schritt 5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{π}{12}$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x - \frac{π}{4} = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x - \frac{π}{4} = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Schritt 7.2

Der resultierende Winkel von $\frac{4 π}{3}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3}$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{4 π}{3} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.3.2

Um $\frac{4 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.3.3

Um $\frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.3.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 7.3.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Schritt 7.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{4 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Schritt 7.3.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{16 π + π \cdot 3}{12}$

Schritt 7.3.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{16 π + 3 \cdot π}{12}$

Schritt 7.3.6.3

Addiere $16 π$ und $3 π$ .

$x = \frac{19 π}{12}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{12}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{12} + 2 π$

Schritt 9.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 9.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 12 - π}{12}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$\frac{24 π - π}{12}$

Schritt 9.4.2

Subtrahiere $π$ von $24 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Schritt 9.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{23 π}{12}$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\sin (x - \frac{π}{4})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{23 π}{12} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$