Elementarmathematik Beispiele

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $2 \log_{2} (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$

Schritt 3

Schreibe $\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$2^{4} = \frac{x^{2}}{x + 5}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x^{2} = 2^{4} (x + 5)$

Schritt 5

Vereinfache $2^{4} (x + 5)$ .

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Schritt 5.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$x^{2} = 16 (x + 5)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} = 16 x + 16 \cdot 5$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $16$ mit $5$ .

$x^{2} = 16 x + 80$

Schritt 6

Subtrahiere $16 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 16 x = 80$

Schritt 7

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 16 x$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 16 x = 80$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x$ aus $- 16 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 16$ heraus.

$x (x - 16) = 80$

Schritt 8

Vereinfache $x (x - 16)$ .

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

Schritt 8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 16 = 80$

Schritt 8.2.2

Bringe $- 16$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 16 x = 80$

Schritt 9

Subtrahiere $80$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 16 x - 80 = 0$

Schritt 10

Faktorisiere $x^{2} - 16 x - 80$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 10.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 80$ und deren Summe $- 16$ ist.

$- 20, 4$

Schritt 10.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 20) (x + 4) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 20 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 12

Setze $x - 20$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 20$ gleich $0$ .

$x - 20 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $20$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 20$

Schritt 13

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 20) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 20, - 4$

Schritt 15

Schließe die Lösungen aus, die $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$ nicht erfüllen.

$x = 20$