Elementarmathematik Beispiele

$2 \tan^{2} (x) + 9 \tan (x) + 7 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \tan (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\tan (x)$ .

$2 u^{2} + 9 u + 7 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 7 = 14$ und deren Summe gleich $b = 9$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 u$ heraus.

$2 u^{2} + 9 (u) + 7 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $9$ um als $2$ plus $7$

$2 u^{2} + (2 + 7) u + 7 = 0$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} + 2 u + 7 u + 7 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} + 2 u) + 7 u + 7 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 u (u + 1) + 7 (u + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u + 1$ .

$(u + 1) (2 u + 7) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + 1) (2 \tan (x) + 7) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

$2 \tan (x) + 7 = 0$

Schritt 3

Setze $\tan (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\tan (x) + 1$ gleich $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\tan (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = - 1$

Schritt 3.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 3.2.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.2.5.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 3.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.2.7.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 3.2.7.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 3.2.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.7.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 3.2.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 3.2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.7.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 3.2.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 3.2.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3.2.8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $2 \tan (x) + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 \tan (x) + 7$ gleich $0$ .

$2 \tan (x) + 7 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 \tan (x) + 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \tan (x) = - 7$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (x) = - 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (x) = - 7$ durch $2$ .

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 7}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (x) = - \frac{7}{2}$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Berechne $\arctan (- \frac{7}{2})$ .

$x = - 1.29249666$

Schritt 4.2.5

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 1.29249666 - (3.14159265)$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 4.2.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.29249666 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.29249666 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 4.2.6.2

Der resultierende Winkel von $1.84909598$ ist positiv und gleich $- 1.29249666 - (3.14159265)$ .

$x = 1.84909598$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.8

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 4.2.8.1

Addiere $π$ zu $- 1.29249666$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1.29249666 + π$

Schritt 4.2.8.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 1.29249666$

Schritt 4.2.8.3

Subtrahiere $1.29249666$ von $3.14159265$ .

$1.84909598$

Schritt 4.2.8.4

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 1.84909598$

Schritt 4.2.9

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.84909598 + π n, 1.84909598 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\tan (x) + 1) (2 \tan (x) + 7) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 1.84909598 + π n, 1.84909598 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Führe $1.84909598 + π n$ und $1.84909598 + π n$ zu $1.84909598 + π n$ zusammen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 1.84909598 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$