Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 9 x = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) - 9 x = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 9 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 9 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 3 x)$ heraus.

$x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 9 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 9$ heraus.

$x (x^{2} - 3 x - 9) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 x - 9 = 0$

Schritt 3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $x^{2} - 3 x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} - 3 x - 9$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 x - 9 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} - 3 x - 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 3$ und $c = - 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 9$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Addiere $9$ und $36$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{3 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} - 3 x - 9) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{3 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, \frac{3 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Dezimalform:

$x = 0, 4.85410196 \dots, - 1.85410196 \dots$