Elementarmathematik Beispiele

x^{4} - 3 x^{2} - 28 = 0

$x^{4} - 3 x^{2} - 28 = 0$

Schritt 1

Setze

u = x^{2}

$u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

u^{2} - 3 u - 28 = 0

$u^{2} - 3 u - 28 = 0$

u = x^{2}

$u = x^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere

u^{2} - 3 u - 28

$u^{2} - 3 u - 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

- 28

$- 28$ und deren Summe

- 3

$- 3$ ist.

- 7, 4

$- 7, 4$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

(u - 7) (u + 4) = 0

$(u - 7) (u + 4) = 0$

(u - 7) (u + 4) = 0

$(u - 7) (u + 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

u - 7 = 0

$u - 7 = 0$

u + 4 = 0

$u + 4 = 0$

Schritt 4

Setze

u - 7

$u - 7$ gleich

0

$0$ und löse nach

u

$u$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

u - 7

$u - 7$ gleich

0

$0$ .

u - 7 = 0

$u - 7 = 0$

Schritt 4.2

Addiere

7

$7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

u = 7

$u = 7$

u = 7

$u = 7$

Schritt 5

Setze

u + 4

$u + 4$ gleich

0

$0$ und löse nach

u

$u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze

u + 4

$u + 4$ gleich

0

$0$ .

u + 4 = 0

$u + 4 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere

4

$4$ von beiden Seiten der Gleichung.

u = - 4

$u = - 4$

u = - 4

$u = - 4$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(u - 7) (u + 4) = 0

$(u - 7) (u + 4) = 0$ wahr machen.

u = 7, - 4

$u = 7, - 4$

Schritt 7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von

u = x^{2}

$u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

x^{2} = 7

$x^{2} = 7$

{(x^{2})}^{1} = - 4

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Schritt 8

Löse die erste Gleichung nach

x

$x$ auf.

x^{2} = 7

$x^{2} = 7$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach

x

$x$ auf.

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Schritt 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{7}

$x = \pm \sqrt{7}$

Schritt 9.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

x = \sqrt{7}

$x = \sqrt{7}$

Schritt 9.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

x = - \sqrt{7}

$x = - \sqrt{7}$

Schritt 9.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Schritt 10

Löse die zweite Gleichung nach

x

$x$ auf.

{(x^{2})}^{1} = - 4

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach

x

$x$ auf.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

x^{2} = - 4

$x^{2} = - 4$

Schritt 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{- 4}

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 11.3

Vereinfache

\pm \sqrt{- 4}

$\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 11.3.1

Schreibe

- 4

$- 4$ als

- 1 (4)

$- 1 (4)$ um.

x = \pm \sqrt{- 1 (4)}

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 11.3.2

Schreibe

\sqrt{- 1 (4)}

$\sqrt{- 1 (4)}$ als

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 11.3.3

Schreibe

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ als

i

$i$ um.

x = \pm i \cdot \sqrt{4}

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 11.3.4

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 11.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

x = \pm i \cdot 2

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 11.3.6

Bringe

2

$2$ auf die linke Seite von

i

$i$ .

x = \pm 2 i

$x = \pm 2 i$

x = \pm 2 i

$x = \pm 2 i$

Schritt 11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

x = 2 i

$x = 2 i$

Schritt 11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

x = - 2 i

$x = - 2 i$

Schritt 11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

x = 2 i, - 2 i

$x = 2 i, - 2 i$

x = 2 i, - 2 i

$x = 2 i, - 2 i$

x = 2 i, - 2 i

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 12

Die Lösung von

x^{4} - 3 x^{2} - 28 = 0

$x^{4} - 3 x^{2} - 28 = 0$ ist

x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, 2 i, - 2 i

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, 2 i, - 2 i$ .

x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, 2 i, - 2 i

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, 2 i, - 2 i$