Elementarmathematik Beispiele

$x^{5} + x^{3} - 20 x = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} + x^{3} - 20 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x^{3} - 20 x = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} - 20 x = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 20 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 20 = 0$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2}$ heraus.

$x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 20 = 0$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 20$ heraus.

$x (x^{4} + x^{2} - 20) = 0$

Schritt 1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} + x^{2} - 20) = 0$

Schritt 1.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} + u - 20) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $u^{2} + u - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $1$ ist.

$- 4, 5$

Schritt 1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((u - 4) (u + 5)) = 0$

Schritt 1.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 5)) = 0$

Schritt 1.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 5)) = 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere.

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Schritt 1.7.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 5)) = 0$

Schritt 1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 5) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

Schritt 3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6

Setze $x^{2} + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{2} + 5$ gleich $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 5$

Schritt 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Schritt 6.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (5)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Schritt 6.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{5}$

Schritt 6.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{5}$

Schritt 6.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{5}$

Schritt 6.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$