Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} \cdot 10^{x} - 4 x \cdot 10^{x} = 32 (10^{x})$

Schritt 1

Subtrahiere $32 \cdot 10^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \cdot 10^{x} - 4 x \cdot 10^{x} - 32 \cdot 10^{x} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $10^{x}$ aus $x^{2} \cdot 10^{x} - 4 x \cdot 10^{x} - 32 \cdot 10^{x}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $10^{x}$ aus $x^{2} \cdot 10^{x}$ heraus.

$10^{x} \cdot x^{2} - 4 x \cdot 10^{x} - 32 \cdot 10^{x} = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $10^{x}$ aus $- 4 x \cdot 10^{x}$ heraus.

$10^{x} \cdot x^{2} + 10^{x} \cdot (- 4 x) - 32 \cdot 10^{x} = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $10^{x}$ aus $- 32 \cdot 10^{x}$ heraus.

$10^{x} \cdot x^{2} + 10^{x} \cdot (- 4 x) + 10^{x} \cdot - 32 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $10^{x}$ aus $10^{x} \cdot x^{2} + 10^{x} \cdot (- 4 x)$ heraus.

$10^{x} \cdot (x^{2} - 4 x) + 10^{x} \cdot - 32 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $10^{x}$ aus $10^{x} \cdot (x^{2} - 4 x) + 10^{x} \cdot - 32$ heraus.

$10^{x} (x^{2} - 4 x - 32) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 32$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 8, 4$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$10^{x} ((x - 8) (x + 4)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$10^{x} (x - 8) (x + 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$10^{x} = 0$

$x - 8 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 4

Setze $10^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $10^{x}$ gleich $0$ .

$10^{x} = 0$

Schritt 4.2

Löse $10^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende auf beiden Seiten der Gleichung den logarithmische Basis $10$ an, um die Variable aus dem Exponenten zu eliminieren.

$\log (10^{x}) = \log (0)$

Schritt 4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\log (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.2.3

Es gibt keine Lösung für $10^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 6

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $10^{x} (x - 8) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 8, - 4$