Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x}{x^{2} - 10} = \frac{3}{2 x + 1}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$x (2 x + 1) = (x^{2} - 10) \cdot 3$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $x (2 x + 1)$ .

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Schritt 2.1.1

Forme um.

$0 + 0 + x (2 x + 1) = (x^{2} - 10) \cdot 3$

Schritt 2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x (2 x + 1) = (x^{2} - 10) \cdot 3$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot 1 = (x^{2} - 10) \cdot 3$

Schritt 2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x \cdot x + x \cdot 1 = (x^{2} - 10) \cdot 3$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x \cdot x + x = (x^{2} - 10) \cdot 3$

Schritt 2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.5.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + x = (x^{2} - 10) \cdot 3$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + x = (x^{2} - 10) \cdot 3$

Schritt 2.2

Vereinfache $(x^{2} - 10) \cdot 3$ .

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + x = x^{2} \cdot 3 - 10 \cdot 3$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 x^{2} + x = 3 \cdot x^{2} - 10 \cdot 3$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $3$ .

$2 x^{2} + x = 3 x^{2} - 30$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + x - 3 x^{2} = - 30$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$- x^{2} + x = - 30$

Schritt 2.4

Addiere $30$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + x + 30 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} + x + 30$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + x + 30 = 0$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 30 = 0$

Schritt 2.5.1.3

Schreibe $30$ als $- 1 (- 30)$ um.

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 30 = 0$

Schritt 2.5.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 30 = 0$

Schritt 2.5.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - x) - 1 (- 30)$ heraus.

$- (x^{2} - x - 30) = 0$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 30$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.5.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 30$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 6, 5$

Schritt 2.5.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 6) (x + 5)) = 0$

Schritt 2.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 6) (x + 5) = 0$

Schritt 2.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2.7

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 2.7.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 2.8

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.8.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 6) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 5$